Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 13, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których prosta o równaniu
\[y=mx+(2m+3)\]
ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie \(S=(0,0)\) i promieniu \(r=3\).
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{12}{5},\infty\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prostą zapisujemy w postaci ogólnej
\[mx-y+2m+3=0.\]
Ma ona dwa punkty wspólne z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka \(S=(0,0)\) od prostej jest mniejsza od promienia:
\[\frac{|2m+3|}{\sqrt{m^2+1}}<3.\]
Po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymujemy
\[(2m+3)^2<9(m^2+1),\]
\[4m^2+12m+9<9m^2+9,\]
\[m(5m-12)>0.\]
Zatem \(m<0\) albo \(m>\frac{12}{5}\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawny zbiór wartości parametru
**2 pkt** – otrzymanie i rozwiązanie nierówności \(m(5m-12)>0\) z drobnym błędem w zapisie końcowym
**1 pkt** – zapisanie warunku \(\frac{|2m+3|}{\sqrt{m^2+1}}<3\) albo równoważnego warunku dodatniego wyróżnika
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
8.6 R - wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu.
