Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 12, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb \(0,1,2,3,4,5,6\). Prawdopodobieństwo \(p_k\) otrzymania liczby \(k\) jest dane wzorem
\[p_k=\frac1{64}\binom6k.\]
Rozważamy dwa zdarzenia:
- zdarzenie \(A\) polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru \(\{1,3,5\}\),
- zdarzenie \(B\) polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru \(\{2,3,4,5,6\}\).
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A\mid B)\).
Odpowiedź
\[P(A\mid B)=\frac{26}{57}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z definicji
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
Mamy \(A\cap B=\{3,5\}\), więc
\[P(A\cap B)=p_3+p_5=\frac1{64}\left(\binom63+\binom65\right)=\frac{26}{64}.\]
Ponadto
\[P(B)=\frac1{64}\left(\binom62+\binom63+\binom64+\binom65+\binom66\right)=\frac{57}{64}.\]
Stąd
\[P(A\mid B)=\frac{26/64}{57/64}=\frac{26}{57}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – wynik \(\frac{26}{57}\)
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(P(A\cap B)=\frac{26}{64}\) i \(P(B)=\frac{57}{64}\)
**1 pkt** – zapisanie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe i poprawne wskazanie \(A\cap B=\{3,5\}\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
10.2 R - obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego.
