Trygonometria
Zadanie 2, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Obiekty \(A\) i \(B\) leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku: \(|\angle ABC|=130^\circ\), \(|\angle ACB|=30^\circ\). Odległość między obiektami \(B\) i \(C\) jest równa \(400\,\mathrm{m}\). Oblicz odległość w linii prostej między obiektami \(A\) i \(B\) i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.
Odpowiedź
\(\lvert AB\rvert\approx585\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkty \(A\), \(B\), \(C\) są wierzchołkami trójkąta, w którym \(\lvert\angle ABC\rvert=130^\circ\) oraz \(\lvert\angle ACB\rvert=30^\circ\). Suma kątów trójkąta daje
\[\lvert\angle BAC\rvert=180^\circ-130^\circ-30^\circ=20^\circ.\]
Bok \(AB\) leży naprzeciw kąta \(ACB\), a bok \(BC\) naprzeciw kąta \(BAC\), więc z twierdzenia sinusów
\[\frac{\lvert AB\rvert}{\sin 30^\circ}=\frac{\lvert BC\rvert}{\sin 20^\circ},\qquad \lvert AB\rvert=\frac{400\cdot\sin 30^\circ}{\sin 20^\circ}=\frac{200}{\sin 20^\circ}.\]
Ponieważ \(\sin 20^\circ\approx0{,}3420\), otrzymujemy \(\lvert AB\rvert\approx584{,}8\ \mathrm{m}\).
**Odpowiedź.** Odległość między obiektami \(A\) i \(B\) wynosi około \(585\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**2.1. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia sinusów do wyznaczenia szukanej odległości: np. \(\frac{400}{\sin 20^\circ}=\frac{AB}{\sin 30^\circ}\).
**2.2. (1 pkt)** – obliczenie odległości obiektu \(A\) od obiektu \(B\): \(AB=\frac{200}{\sin 20^\circ}\).
**2.3. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: \(585\) metrów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
