Ciągi
Zadanie 4, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy
W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracowników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy.
| Płaca miesięczna (w euro) | \(400\) | \(480\) | \(540\) |
|---|---:|---:|---:|
| Liczba pracowników | \(12\) | \(6\) | \(2\) |
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie standardowe podaj z dokładnością do \(0{,}1\).
Odpowiedź
a) Średnia płaca miesięczna wynosi \(438\) euro.
b) Wariancja jest równa \(2436\), a odchylenie standardowe około \(49{,}4\) euro.
Rozwiązanie krok po kroku
Z diagramu odczytujemy trzy grupy płac i liczebności: \(400\) euro — \(12\) osób, \(480\) euro — \(6\) osób, \(540\) euro — \(2\) osoby. Łącznie pracuje \(12+6+2=20\) osób.
**a)** Średnia ważona liczebnościami:
\[\bar x=\frac{12\cdot400+6\cdot480+2\cdot540}{20}=\frac{4800+2880+1080}{20}=\frac{8760}{20}=438.\]
**b)** Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej:
\[\sigma^{2}=\frac{12\cdot(400-438)^{2}+6\cdot(480-438)^{2}+2\cdot(540-438)^{2}}{20}=\frac{12\cdot1444+6\cdot1764+2\cdot10404}{20}.\]
Po zsumowaniu licznika \(17\,328+10\,584+20\,808=48\,720\), więc \(\sigma^{2}=\frac{48\,720}{20}=2436\), a odchylenie standardowe
\[\sigma=\sqrt{2436}\approx49{,}4.\]
**Odpowiedź.** Średnia płaca wynosi \(438\) euro, wariancja \(2436\), a odchylenie standardowe około \(49{,}4\) euro.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**4.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej miesięcznej płacy w zakładzie: \(438\).
**4.2. (2 pkt)** – obliczenie wariancji miesięcznej płacy: \(2436\).
**4.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego i zaokrąglenie otrzymanego wyniku: \(49{,}4\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
