Odchylenie standardowe i wariancja — zadania maturalne z rozwiązaniami

Numery donic: **I, II oraz IV**.

Średnia liczba wykiełkowanych nasion wynosi \[\overline{x}=\frac{133+140+119+147+161}{5}=\frac{700}{5}=140.\] Przedział określony przez jedno odchylenie standardowe od średniej jest równy \[(\overline{x}-\sigma,\overline{x}+\sigma)=(140-14,140+14)=(126,154).\] W tym przedziale leżą wartości \(133\), \(140\) i \(147\), odpowiadające donicom I, II oraz IV.

**2 pkt** – wyznaczenie przedziału \((126,154)\) i podanie donic I, II oraz IV **1 pkt** – poprawna metoda obliczenia średniej i wynik \(\overline{x}=140\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 i XII.3 obliczanie średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego zestawu danych oraz interpretowanie odchylenia standardowego dla danych empirycznych.

B. \(2\)

Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej: \[\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2.\] Najpierw liczymy średnią: \[\overline{x}=\frac{1+3+5+3}{4}=\frac{12}{4}=3.\] Odchylenia od średniej wynoszą kolejno \(-2\), \(0\), \(2\), \(0\), więc \[\sigma^2=\frac{(-2)^2+0^2+2^2+0^2}{4}=\frac{4+0+4+0}{4}=2.\] **Odpowiedź.** B. \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

B. \(1\)

Zestaw ma \(2m\) liczb: \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. Najpierw średnia: \[\overline{x}=\frac{2m+4m}{2m}=\frac{6m}{2m}=3.\] Każda liczba odbiega od średniej o \(1\) — dwójki o \(-1\), czwórki o \(1\) — więc każdy kwadrat odchylenia jest równy \(1\) i \[\sigma^2=\frac{m\cdot(-1)^2+m\cdot1^2}{2m}=\frac{2m}{2m}=1.\] Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji: \[\sigma=\sqrt1=1.\] Wynik nie zależy od \(m\). **Odpowiedź.** B. \(1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. (0−1) 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria Wersja Wersja prawdopodobieństwa i kombinatoryka. I II II. Wykorzystanie Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie i interpretowanie standardowe zestawu danych (także reprezentacji. w przypadku danych odpowiednio B D pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych (10.1).

Średnia arytmetyczna ocen jest równa \(3\), a kwadrat odchylenia standardowego (wariancja) wynosi \(1{,}6\).

Z tabeli odczytujemy oceny i liczby uczniów; wszystkich uczniów jest \[1+2+6+5+9+2=25.\] Średnią liczymy jako średnią ważoną liczebnościami: \[\bar x=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{25}=\frac{75}{25}=3.\] Kwadrat odchylenia standardowego, czyli wariancja, to średnia kwadratów odchyleń od średniej: \[\sigma^{2}=\frac{1\cdot(6-3)^{2}+2\cdot(5-3)^{2}+6\cdot(4-3)^{2}+5\cdot(3-3)^{2}+9\cdot(2-3)^{2}+2\cdot(1-3)^{2}}{25}.\] Licznik jest równy \(9+8+6+0+9+8=40\), więc \[\sigma^{2}=\frac{40}{25}=1{,}6.\] **Odpowiedź.** Średnia ocen wynosi \(3\), a kwadrat odchylenia standardowego \(1{,}6\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy obliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, lub gdy obliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III z błędem rachunkowym i konsekwentnie do tego obliczy kwadrat odchylenia standardowego. **2 pkt** – gdy obliczy średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen: odpowiednio \(3\) i \(1{,}6\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

Średnia arytmetyczna jest równa \(\overline{x}=20\text{ dag}\), wariancja \(\sigma^2=\frac{19}{15}=1{,}2(6)\), a odchylenie standardowe \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\text{ dag}\).

Dane są pogrupowane w tabelę liczebności, więc średnią liczymy jako średnią ważoną: \[\overline{x}=\frac{\sum_i x_i n_i}{\sum_i n_i}.\] Liczba wszystkich kostek to \[1+15+24+68+26+16=150,\] zgodnie z treścią zadania, a suma mas \[16\cdot1+18\cdot15+19\cdot24+20\cdot68+21\cdot26+22\cdot16=16+270+456+1360+546+352=3000.\] Stąd \[\overline{x}=\frac{3000}{150}=20.\] Wariancję liczymy jako średnią ważoną kwadratów odchyleń od średniej: \[\sigma^2=\frac{\sum_i n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\sum_i n_i}.\] Odchylenia od \(20\) wynoszą kolejno \(-4,-2,-1,0,1,2\), więc licznik jest równy \[1\cdot16+15\cdot4+24\cdot1+68\cdot0+26\cdot1+16\cdot4=16+60+24+0+26+64=190,\] a zatem \[\sigma^2=\frac{190}{150}=\frac{19}{15}=1{,}2(6).\] Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji: \[\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13.\] **Odpowiedź.** Średnia masa kostki masła wynosi \(20\text{ dag}\), a odchylenie standardowe około \(1{,}13\text{ dag}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej arytmetycznej: \(\overline{x}=20\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie wariancji: \(\sigma^{2}=\frac{19}{15}\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\sigma=\sqrt{1{,}2(6)}\approx 1{,}125\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Średnio \(5\) biletów na godzinę. b) Wyniki nietypowe odnotowano w godzinach \(5{:}00-6{:}00\), \(7{:}00-8{:}00\), \(8{:}00-9{:}00\) oraz \(15{:}00-16{:}00\).

**a) Średnia.** Obserwacji jest \(12\), a łączna liczba sprzedanych biletów wynosi \[2+3+9+8+6+4+3+3+3+5+8+6=60.\] Zatem \[\bar x=\frac{60}{12}=5.\] **b) Odchylenie standardowe.** Korzystamy ze wzoru \(\sigma^{2}=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^{2}\). Grupujemy jednakowe wyniki: \[\sum(x_i-5)^{2}=1\cdot(5-2)^{2}+4\cdot(5-3)^{2}+1\cdot(5-4)^{2}+1\cdot(5-5)^{2}+2\cdot(5-6)^{2}+2\cdot(5-8)^{2}+1\cdot(5-9)^{2},\] \[=9+16+1+0+2+18+16=62.\] Stąd \[\sigma^{2}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6},\qquad \sigma=\sqrt{\frac{31}{6}}\approx2{,}27.\] **Wyniki nietypowe.** Wynik jest typowy, gdy \(|x_i-\bar x|<\sigma\), czyli gdy \(x_i\) należy do przedziału \[(5-2{,}27,\;5+2{,}27)\approx(2{,}73;\,7{,}27).\] Poza tym przedziałem leżą wyniki \(2\), \(8\), \(8\) oraz \(9\). Odczytujemy z tabeli odpowiadające im godziny. **Odpowiedź.** a) \(5\) biletów na godzinę. b) Nietypowe były wyniki w godzinach \(5{:}00-6{:}00\) (\(2\) bilety), \(7{:}00-8{:}00\) (\(9\)), \(8{:}00-9{:}00\) (\(8\)) oraz \(15{:}00-16{:}00\) (\(8\)).

**Schemat CKE (\(4\) pkt łącznie):** **1 pkt** – obliczenie średniej: \(\bar x=5\) **1 pkt** – przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia standardowego (wystarczy poprawne podstawienie danych do wzoru) **1 pkt** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\sigma\approx2{,}27\) **1 pkt** – podanie wszystkich godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była typowa

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego zestawu danych z tabeli oraz stosowanie podanej w treści definicji wyniku typowego.

a) Średnia masa kostki wynosi \(20\ \mathrm{dag}\), a odchylenie standardowe \(\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\ \mathrm{dag}\). b) Kontrola nie wypadła pozytywnie — średnia zgadza się z masą nominalną, ale odchylenie standardowe przekracza \(1\ \mathrm{dag}\).

Z tabeli odczytujemy masy i odpowiadające im liczby kostek; wszystkich kostek jest \(1+15+24+68+26+16=150\). **a)** Średnia ważona liczebnościami: \[\bar x=\frac{16\cdot1+18\cdot15+19\cdot24+20\cdot68+21\cdot26+22\cdot16}{150}=\frac{3000}{150}=20\ \mathrm{dag}.\] Wariancję liczymy jako średnią kwadratów odchyleń od średniej: \[\sigma^{2}=\frac{1\cdot16+15\cdot4+24\cdot1+68\cdot0+26\cdot1+16\cdot4}{150}=\frac{190}{150}=\frac{19}{15},\] skąd \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\ \mathrm{dag}\). **b)** Kontrola wypada pozytywnie, gdy oba warunki są spełnione jednocześnie. Pierwszy warunek jest spełniony, bo średnia masa \(20\ \mathrm{dag}\) równa się masie nominalnej. Drugi warunek nie jest spełniony, ponieważ \(\sigma\approx1{,}13>1\ \mathrm{dag}\). **Odpowiedź.** Średnia wynosi \(20\ \mathrm{dag}\), a odchylenie standardowe około \(1{,}13\ \mathrm{dag}\); kontrola nie wypadła pozytywnie, bo odchylenie standardowe przekracza \(1\ \mathrm{dag}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 3.** (\(5\) pkt) Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę \(20\,\mathrm{dag}\). W czasie kontroli zakładu zważono \(150\) losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. | Masa kostki masła (w dag) | \(16\) | \(18\) | \(19\) | \(20\) | \(21\) | \(22\) | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Liczba kostek masła | \(1\) | \(15\) | \(24\) | \(68\) | \(26\) | \(16\) | a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza \(1\,\mathrm{dag}\). Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij. Obliczam średnią masę kostki masła: \(\overline{x}=\frac{16\cdot 1+18\cdot 15+19\cdot 24+20\cdot 68+21\cdot 26+22\cdot 16}{150}=20\). Obliczam wariancję: \(\sigma^{2}=\frac{1\cdot 4^{2}+15\cdot 2^{2}+24\cdot 1^{2}+68\cdot 0^{2}+26\cdot 1^{2}+16\cdot 2^{2}}{150}=\frac{19}{15}\). Obliczam odchylenie standardowe: \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx 1{,}125\). Odp.: Kontrola zakładu nie wypadła pozytywnie, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło \(1\,\mathrm{dag}\). | Nr czynności | 3.1. | 3.2. | 3.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(2\) | \(2\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Średnia płaca miesięczna wynosi \(438\) euro. b) Wariancja jest równa \(2436\), a odchylenie standardowe około \(49{,}4\) euro.

Z diagramu odczytujemy trzy grupy płac i liczebności: \(400\) euro — \(12\) osób, \(480\) euro — \(6\) osób, \(540\) euro — \(2\) osoby. Łącznie pracuje \(12+6+2=20\) osób. **a)** Średnia ważona liczebnościami: \[\bar x=\frac{12\cdot400+6\cdot480+2\cdot540}{20}=\frac{4800+2880+1080}{20}=\frac{8760}{20}=438.\] **b)** Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej: \[\sigma^{2}=\frac{12\cdot(400-438)^{2}+6\cdot(480-438)^{2}+2\cdot(540-438)^{2}}{20}=\frac{12\cdot1444+6\cdot1764+2\cdot10404}{20}.\] Po zsumowaniu licznika \(17\,328+10\,584+20\,808=48\,720\), więc \(\sigma^{2}=\frac{48\,720}{20}=2436\), a odchylenie standardowe \[\sigma=\sqrt{2436}\approx49{,}4.\] **Odpowiedź.** Średnia płaca wynosi \(438\) euro, wariancja \(2436\), a odchylenie standardowe około \(49{,}4\) euro.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej miesięcznej płacy w zakładzie: \(438\). **4.2. (2 pkt)** – obliczenie wariancji miesięcznej płacy: \(2436\). **4.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego i zaokrąglenie otrzymanego wyniku: \(49{,}4\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

b) Średnia wynosi \(2{,}75\) godziny. c) Wariancja wynosi \(0{,}9375\approx0{,}94\), a odchylenie standardowe \(\approx0{,}97\).

**a) Diagram.** Diagram słupkowy tworzą cztery słupki o wysokościach odpowiadających liczbie uczniów: dla \(1\) godziny — \(5\), dla \(2\) godzin — \(10\), dla \(3\) godzin — \(15\), dla \(4\) godzin — \(10\). Na osi poziomej odkładamy czas w godzinach, na pionowej — liczbę uczniów. **b) Średnia.** Liczba uczniów wynosi \[n=5+10+15+10=40,\] a łączny czas \[5\cdot1+10\cdot2+15\cdot3+10\cdot4=5+20+45+40=110.\] Zatem \[\bar x=\frac{110}{40}=2{,}75.\] **c) Wariancja i odchylenie standardowe.** Korzystamy ze wzoru \(\sigma^{2}=\frac1n\sum n_i\left(x_i-\bar x\right)^{2}\): \[\sum n_i\left(x_i-2{,}75\right)^{2}=5\cdot1{,}75^{2}+10\cdot0{,}75^{2}+15\cdot0{,}25^{2}+10\cdot1{,}25^{2},\] \[=5\cdot3{,}0625+10\cdot0{,}5625+15\cdot0{,}0625+10\cdot1{,}5625=15{,}3125+5{,}625+0{,}9375+15{,}625=37{,}5.\] Stąd \[\sigma^{2}=\frac{37{,}5}{40}=0{,}9375\approx0{,}94,\qquad \sigma=\sqrt{0{,}9375}\approx0{,}97.\] **Odpowiedź.** b) \(\bar x=2{,}75\) godziny. c) \(\sigma^{2}\approx0{,}94\), \(\sigma\approx0{,}97\).

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **1 pkt** – poprawne naszkicowanie diagramu słupkowego **1 pkt** – obliczenie średniej liczby godzin: \(2{,}75\) **2 pkt** – obliczenie wariancji: \(1\) pkt za metodę oraz \(1\) pkt za obliczenia; wynik \(\approx0{,}94\) **1 pkt** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\approx0{,}97\)

**Sprawdzana umiejętność:** przedstawianie danych z tabeli na diagramie słupkowym oraz obliczanie średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego zestawu danych z wagami.

a) Średnia ocen wynosi \(\frac{27}{7}\approx3{,}86\). b) Wariancja \(\frac{34}{49}\approx0{,}69\), odchylenie standardowe \(\frac{\sqrt{34}}7\approx0{,}83\).

Ocen jest siedem, a ich suma wynosi \(5+5+3+4+3+3+4=27\). **a)** Średnia arytmetyczna: \[\bar x=\frac{27}{7}\approx3{,}86.\] **b)** Wariancję wygodnie policzyć ze wzoru \(\sigma^{2}=\overline{x^{2}}-\left(\bar x\right)^{2}\). Suma kwadratów ocen to \(25+25+9+16+9+9+16=109\), więc \[\sigma^{2}=\frac{109}{7}-\left(\frac{27}{7}\right)^{2}=\frac{763-729}{49}=\frac{34}{49}\approx0{,}69,\] a odchylenie standardowe \[\sigma=\frac{\sqrt{34}}{7}\approx0{,}83.\] **Odpowiedź.** Średnia \(\approx3{,}86\), wariancja \(\approx0{,}69\), odchylenie standardowe \(\approx0{,}83\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej ocen z języka polskiego: \(\overline{x}\approx 3{,}86\). **1.2. (2 pkt)** – obliczenie wariancji (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(0{,}69\). **1.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego: \(0{,}83\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.