Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 2, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy
Po *Wiadomościach z kraju i ze świata* telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{1}{10}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Reklamy są różne, a ich kolejność losowa, więc zdarzeniem elementarnym jest ustawienie pięciu różnych reklam w kolejce — czyli permutacja pięciu elementów. Najpierw policzymy wszystkie ustawienia, potem te sprzyjające, i podzielimy jedno przez drugie (schemat klasyczny).
**Krok \(2\).** Liczba wszystkich możliwych kolejności:
\[|\Omega|=5!=120.\]
**Krok \(3\).** Oznaczmy literą \(P\) reklamę proszku (są trzy takie) i literą \(T\) reklamę pasty (są dwie). Interesują nas te kolejności, w których żadne dwie litery tego samego rodzaju nie stoją obok siebie.
**Krok \(4\).** Zastanówmy się nad schematem liter. Trzy litery \(P\) muszą być parami rozdzielone, a rozdzielić je mogą tylko dwie litery \(T\). Przy pięciu miejscach jedyna możliwość to postawienie proszków na miejscach \(1\), \(3\), \(5\), a past na miejscach \(2\) i \(4\):
\[P\ T\ P\ T\ P.\]
Gdyby któryś proszek stanął na miejscu parzystym, dwa pozostałe musiałyby sąsiadować.
**Krok \(5\).** Teraz liczymy, na ile sposobów można obsadzić ten schemat konkretnymi reklamami. Trzy różne proszki na trzech wyznaczonych miejscach: \(3!=6\) sposobów. Dwie różne pasty na dwóch miejscach: \(2!=2\) sposoby.
**Krok \(6\).** Z reguły mnożenia liczba zdarzeń sprzyjających wynosi
\[|A|=3!\cdot2!=6\cdot2=12.\]
**Krok \(7\).** Obliczamy prawdopodobieństwo:
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}.\]
**Uwaga.** Reklamy są rozróżnialne, więc nie wystarczy policzyć samych schematów liter (byłby tylko jeden) — trzeba jeszcze rozmieścić konkretne reklamy, stąd czynniki \(3!\) i \(2!\). Wynik ma być nieskracalnym ułamkiem zwykłym, więc \(\frac{12}{120}\) trzeba skrócić do \(\frac{1}{10}\).
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{1}{10}\).
Klucz i zasady oceniania
2.1. Wyznaczenie mocy zbioru Ω : Ω = 5 !. 1
Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A:
2.2. 1
A = 2!⋅ 3! .
Obliczenie P( A) , podanie wyniku w postaci ułamka
2. 2.3. 1 1
nieskracalnego: P( A) = .
10
Rozwiązanie za pomocą drzewa:
1 pkt – wykonanie poprawnego rysunku drzewa,
1 pkt – oznaczenie prawdopodobieństwa na gałęzi,
1 pkt – obliczenie prawdopodobieństwa.
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
