Inne zagadnienia
Zadanie 13, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Właściciel kiosku notował liczbę biletów komunikacji miejskiej sprzedanych w kolejnych godzinach. Wyniki obserwacji zapisał w tabeli.
| Czas obserwacji | Liczba biletów |
|---|---:|
| \(5{:}00-6{:}00\) | \(2\) |
| \(6{:}00-7{:}00\) | \(3\) |
| \(7{:}00-8{:}00\) | \(9\) |
| \(8{:}00-9{:}00\) | \(8\) |
| \(9{:}00-10{:}00\) | \(6\) |
| \(10{:}00-11{:}00\) | \(4\) |
| \(11{:}00-12{:}00\) | \(3\) |
| \(12{:}00-13{:}00\) | \(3\) |
| \(13{:}00-14{:}00\) | \(3\) |
| \(14{:}00-15{:}00\) | \(5\) |
| \(15{:}00-16{:}00\) | \(8\) |
| \(16{:}00-17{:}00\) | \(6\) |
a) Oblicz średnią liczbę biletów sprzedawanych w ciągu \(1\) godziny.
b) Wynikiem „typowym” nazywamy wynik, który różni się od średniej o mniej niż jedno odchylenie standardowe. Podaj wszystkie godziny, w których liczba sprzedanych biletów nie była „typowa” .
Odpowiedź
a) Średnio \(5\) biletów na godzinę.
b) Wyniki nietypowe odnotowano w godzinach \(5{:}00-6{:}00\), \(7{:}00-8{:}00\), \(8{:}00-9{:}00\) oraz \(15{:}00-16{:}00\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a) Średnia.** Obserwacji jest \(12\), a łączna liczba sprzedanych biletów wynosi
\[2+3+9+8+6+4+3+3+3+5+8+6=60.\]
Zatem
\[\bar x=\frac{60}{12}=5.\]
**b) Odchylenie standardowe.** Korzystamy ze wzoru \(\sigma^{2}=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^{2}\). Grupujemy jednakowe wyniki:
\[\sum(x_i-5)^{2}=1\cdot(5-2)^{2}+4\cdot(5-3)^{2}+1\cdot(5-4)^{2}+1\cdot(5-5)^{2}+2\cdot(5-6)^{2}+2\cdot(5-8)^{2}+1\cdot(5-9)^{2},\]
\[=9+16+1+0+2+18+16=62.\]
Stąd
\[\sigma^{2}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6},\qquad \sigma=\sqrt{\frac{31}{6}}\approx2{,}27.\]
**Wyniki nietypowe.** Wynik jest typowy, gdy \(|x_i-\bar x|<\sigma\), czyli gdy \(x_i\) należy do przedziału
\[(5-2{,}27,\;5+2{,}27)\approx(2{,}73;\,7{,}27).\]
Poza tym przedziałem leżą wyniki \(2\), \(8\), \(8\) oraz \(9\). Odczytujemy z tabeli odpowiadające im godziny.
**Odpowiedź.** a) \(5\) biletów na godzinę. b) Nietypowe były wyniki w godzinach \(5{:}00-6{:}00\) (\(2\) bilety), \(7{:}00-8{:}00\) (\(9\)), \(8{:}00-9{:}00\) (\(8\)) oraz \(15{:}00-16{:}00\) (\(8\)).
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(4\) pkt łącznie):**
**1 pkt** – obliczenie średniej: \(\bar x=5\)
**1 pkt** – przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia standardowego (wystarczy poprawne podstawienie danych do wzoru)
**1 pkt** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\sigma\approx2{,}27\)
**1 pkt** – podanie wszystkich godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była typowa
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego zestawu danych z tabeli oraz stosowanie podanej w treści definicji wyniku typowego.
