Równania i nierówności
Zadanie 8, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy
Wysokość walca jest o \(6\) większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe \(378\pi\). Oblicz objętość walca.
Odpowiedź
\(V=980\pi\) (dla \(r=7\) i \(h=20\)).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W walcu mamy dwie niewiadome: promień podstawy \(r\) i wysokość \(h\). W treści są dwie informacje (zależność między wysokością a średnicą oraz pole powierzchni całkowitej), więc ułożymy układ dwóch równań i sprowadzimy go do jednego równania kwadratowego.
**Krok \(2\).** Średnica podstawy wynosi \(2r\), a wysokość jest od niej o \(6\) większa:
\[h=2r+6.\]
**Krok \(3\).** Pole powierzchni całkowitej walca to dwa koła podstaw i prostokąt powierzchni bocznej:
\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=378\pi.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\pi\) — to od razu usuwa \(\pi\) z rachunków:
\[r^2+rh=189.\]
**Krok \(5\).** Podstawiamy \(h=2r+6\):
\[r^2+r(2r+6)=189,\qquad r^2+2r^2+6r-189=0,\qquad 3r^2+6r-189=0.\]
**Krok \(6\).** Dzielimy przez \(3\):
\[r^2+2r-63=0.\]
**Krok \(7\).** Liczymy \(\Delta=4+252=256\), \(\sqrt{\Delta}=16\), więc
\[r_1=\frac{-2-16}{2}=-9,\qquad r_2=\frac{-2+16}{2}=7.\]
**Krok \(8\).** Promień musi być dodatni, więc \(r=7\), a stąd \(h=2\cdot7+6=20\). Sprawdzenie pola: \(2\pi\cdot49+2\pi\cdot7\cdot20=98\pi+280\pi=378\pi\) — zgadza się.
**Krok \(9\).** Obliczamy objętość:
\[V=\pi r^2h=\pi\cdot49\cdot20=980\pi.\]
**Uwaga.** Ujemny pierwiastek \(r=-9\) jest poprawnym rozwiązaniem równania, ale nie długością promienia, więc trzeba go wyraźnie odrzucić. Uwaga też na słowo średnica: wysokość jest większa o \(6\) od \(2r\), a nie od \(r\).
**Odpowiedź.** \(V=980\pi\) (dla \(r=7\) i \(h=20\)).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**8.1. (1 pkt)** – zapisanie zależności: \(h=2r+6\).
**8.2. (1 pkt)** – zapisanie zależności: \(2\pi r^{2}+2\pi rh=378\pi\).
**8.3. (1 pkt)** – doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą \(r\) lub \(h\).
**8.4. (2 pkt)** – przekształcenie równania do postaci uporządkowanej, rozwiązanie go, wyznaczenie długości promienia i długości wysokości walca: np. \(r^{2}+2r-63=0\) (lub \(h^{2}-8h-240=0\)), \(r=7\wedge h=20\).
**8.5. (1 pkt)** – obliczenie objętości walca: \(V=980\pi\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
