Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 2, arkusz pokazowy 2008, poziom podstawowy
Zważono \(150\) losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.
| Masa kostki masła (w dag) | \(16\) | \(18\) | \(19\) | \(20\) | \(21\) | \(22\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Liczba kostek masła | \(1\) | \(15\) | \(24\) | \(68\) | \(26\) | \(16\) |
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła.
Odpowiedź
Średnia arytmetyczna jest równa \(\overline{x}=20\text{ dag}\), wariancja \(\sigma^2=\frac{19}{15}=1{,}2(6)\), a odchylenie standardowe \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\text{ dag}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dane są pogrupowane w tabelę liczebności, więc średnią liczymy jako średnią ważoną:
\[\overline{x}=\frac{\sum_i x_i n_i}{\sum_i n_i}.\]
Liczba wszystkich kostek to
\[1+15+24+68+26+16=150,\]
zgodnie z treścią zadania, a suma mas
\[16\cdot1+18\cdot15+19\cdot24+20\cdot68+21\cdot26+22\cdot16=16+270+456+1360+546+352=3000.\]
Stąd
\[\overline{x}=\frac{3000}{150}=20.\]
Wariancję liczymy jako średnią ważoną kwadratów odchyleń od średniej:
\[\sigma^2=\frac{\sum_i n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\sum_i n_i}.\]
Odchylenia od \(20\) wynoszą kolejno \(-4,-2,-1,0,1,2\), więc licznik jest równy
\[1\cdot16+15\cdot4+24\cdot1+68\cdot0+26\cdot1+16\cdot4=16+60+24+0+26+64=190,\]
a zatem
\[\sigma^2=\frac{190}{150}=\frac{19}{15}=1{,}2(6).\]
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji:
\[\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13.\]
**Odpowiedź.** Średnia masa kostki masła wynosi \(20\text{ dag}\), a odchylenie standardowe około \(1{,}13\text{ dag}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**2.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej arytmetycznej: \(\overline{x}=20\).
**2.2. (1 pkt)** – obliczenie wariancji: \(\sigma^{2}=\frac{19}{15}\).
**2.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\sigma=\sqrt{1{,}2(6)}\approx 1{,}125\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
