Ciągi
Zadanie 3, maj 2006, poziom podstawowy
Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę \(20\,\mathrm{dag}\). W czasie kontroli zakładu zważono \(150\) losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.
| Masa kostki masła (w \(\mathrm{dag}\)) | \(16\) | \(18\) | \(19\) | \(20\) | \(21\) | \(22\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Liczba kostek masła | \(1\) | \(15\) | \(24\) | \(68\) | \(26\) | \(16\) |
a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła.
b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza \(1\,\mathrm{dag}\). Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
a) Średnia masa kostki wynosi \(20\ \mathrm{dag}\), a odchylenie standardowe \(\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\ \mathrm{dag}\).
b) Kontrola nie wypadła pozytywnie — średnia zgadza się z masą nominalną, ale odchylenie standardowe przekracza \(1\ \mathrm{dag}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z tabeli odczytujemy masy i odpowiadające im liczby kostek; wszystkich kostek jest \(1+15+24+68+26+16=150\).
**a)** Średnia ważona liczebnościami:
\[\bar x=\frac{16\cdot1+18\cdot15+19\cdot24+20\cdot68+21\cdot26+22\cdot16}{150}=\frac{3000}{150}=20\ \mathrm{dag}.\]
Wariancję liczymy jako średnią kwadratów odchyleń od średniej:
\[\sigma^{2}=\frac{1\cdot16+15\cdot4+24\cdot1+68\cdot0+26\cdot1+16\cdot4}{150}=\frac{190}{150}=\frac{19}{15},\]
skąd \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx1{,}13\ \mathrm{dag}\).
**b)** Kontrola wypada pozytywnie, gdy oba warunki są spełnione jednocześnie. Pierwszy warunek jest spełniony, bo średnia masa \(20\ \mathrm{dag}\) równa się masie nominalnej. Drugi warunek nie jest spełniony, ponieważ \(\sigma\approx1{,}13>1\ \mathrm{dag}\).
**Odpowiedź.** Średnia wynosi \(20\ \mathrm{dag}\), a odchylenie standardowe około \(1{,}13\ \mathrm{dag}\); kontrola nie wypadła pozytywnie, bo odchylenie standardowe przekracza \(1\ \mathrm{dag}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 3.** (\(5\) pkt)
Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę \(20\,\mathrm{dag}\). W czasie kontroli zakładu zważono \(150\) losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.
| Masa kostki masła (w dag) | \(16\) | \(18\) | \(19\) | \(20\) | \(21\) | \(22\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Liczba kostek masła | \(1\) | \(15\) | \(24\) | \(68\) | \(26\) | \(16\) |
a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła.
b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza \(1\,\mathrm{dag}\). Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.
Obliczam średnią masę kostki masła: \(\overline{x}=\frac{16\cdot 1+18\cdot 15+19\cdot 24+20\cdot 68+21\cdot 26+22\cdot 16}{150}=20\).
Obliczam wariancję: \(\sigma^{2}=\frac{1\cdot 4^{2}+15\cdot 2^{2}+24\cdot 1^{2}+68\cdot 0^{2}+26\cdot 1^{2}+16\cdot 2^{2}}{150}=\frac{19}{15}\).
Obliczam odchylenie standardowe: \(\sigma=\sqrt{\frac{19}{15}}\approx 1{,}125\).
Odp.: Kontrola zakładu nie wypadła pozytywnie, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło \(1\,\mathrm{dag}\).
| Nr czynności | 3.1. | 3.2. | 3.3. |
|---|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(2\) | \(2\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
