Ciąg geometryczny
Zadanie 4, maj 2006, poziom podstawowy
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_1=12\), \(a_3=27\).
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\).
c) Oblicz wyraz \(a_6\).
Odpowiedź
a) \(q=\frac32\).
b) \(a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}\).
c) \(a_6=91{,}125\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy
\[q^{2}=\frac{27}{12}=\frac94,\qquad q=\frac32\ \text{lub}\ q=-\frac32.\]
Ciąg ma być rosnący, a przy \(q=-\frac32\) kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac32\).
**b)** Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\)
\[a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}.\]
**c)** Podstawiamy \(n=6\):
\[a_6=12\cdot\left(\frac32\right)^{5}=12\cdot\frac{243}{32}=\frac{729}{8}=91{,}125.\]
**Odpowiedź.** \(q=\frac32\), \(a_n=12\left(\frac32\right)^{n-1}\), \(a_6=91{,}125\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 4.** (\(4\) pkt)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=12\), \(a_{3}=27\).
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
c) Oblicz wyraz \(a_{6}\).
Wyznaczam iloraz ciągu geometrycznego: \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\); stąd \(q=\frac{3}{2}\) lub \(q=-\frac{3}{2}\).
Odrzucam odpowiedź \(q=-\frac{3}{2}\), ponieważ \(a_{1}>0\) i ciąg jest rosnący.
wniosek: ilorazem tego ciągu jest \(q=\frac{3}{2}\).
Wyznaczam wzór na \(a_{n}\): \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\).
Obliczam \(a_{6}\): \(a_{6}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{5}=91\tfrac{1}{8}\).
| Nr czynności | 4.1. | 4.2. | 4.3. |
|---|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(2\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
