Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 2, maj 2006, poziom podstawowy
W wycieczce szkolnej bierze udział \(16\) uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy \(3\) osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{72}{560}=\frac9{70}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wychowawca wybiera trzy osoby spośród szesnastu, a kolejność wyboru nie ma znaczenia — liczy się tylko skład trójki. Zdarzeniami elementarnymi są więc trzyelementowe podzbiory, wszystkie jednakowo prawdopodobne, i
\[|\Omega|=\binom{16}3=560.\]
W grupie jest \(4\) uczniów znających okolicę i \(12\) jej nieznających. Trójka sprzyjająca zdarzeniu \(A\) zawiera dokładnie dwie osoby znające okolicę i jedną nieznającą. Dwie osoby spośród czterech wybieramy na \(\binom42=6\) sposobów, a jedną spośród dwunastu na \(\binom{12}1=12\) sposobów, więc z reguły mnożenia
\[|A|=6\cdot12=72.\]
Zatem
\[P(A)=\frac{72}{560}=\frac9{70}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac9{70}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 2.** (\(3\) pkt)
W wycieczce szkolnej bierze udział \(16\) uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy \(3\) osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.
\(\Omega\) jest zbiorem wszystkich trzyelementowych podzbiorów zbioru szesnastoelementowego.
Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, więc korzystam z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
Obliczam, na ile sposobów można wybrać trzy osoby spośród \(16\): \(\lvert\Omega\rvert=\binom{16}{3}=\frac{16\cdot 15\cdot 14}{2\cdot 3}=560\)
Zdarzenie \(A\) – wśród trzech wybranych osób będą dwie, które znają okolicę i jedna, która okolicy nie zna.
Obliczam, na ile sposobów można wybrać trzy osoby, wśród których będą dwie znające okolicę i jedna, która okolicy nie zna: \(\lvert A\rvert=\binom{4}{2}\binom{12}{1}=\frac{4\cdot 3}{2}\cdot 12=72\).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{\lvert A\rvert}{\lvert\Omega\rvert}=\frac{72}{560}=\frac{9}{70}\).
| Nr czynności | 2.1. | 2.2. | 2.3. |
|---|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
