Czworokąty
Zadanie 7, arkusz pokazowy 2008, poziom podstawowy
Państwo Nowakowie przeznaczyli \(26000\,\mathrm{zł}\) na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek w skali \(1:1000\) dwóch przylegających do siebie działek. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje \(35\,\mathrm{zł}\). Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki \(P_2\).
Na rysunku \(AE\perp AC\), \(BD\perp EC\) oraz \(|AE|=5\,\mathrm{cm}\), \(|EC|=13\,\mathrm{cm}\), \(|BC|=6{,}5\,\mathrm{cm}\).
Odpowiedź
Działka \(P_2\) ma \(750\ \mathrm{m}^2\) i kosztuje \(26\,250\ \text{zł}\), więc kwota \(26\,000\ \text{zł}\) nie wystarczy.
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(AEC\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(A\), więc z twierdzenia Pitagorasa
\[\lvert AC\rvert=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm},\]
a jego pole na rysunku wynosi
\[P_{AEC}=\tfrac12\cdot5\cdot12=30\ \mathrm{cm}^2.\]
Trójkąt \(DBC\) ma kąt prosty przy \(D\) (bo \(BD\perp EC\)) i wspólny kąt przy \(C\) z trójkątem \(AEC\), więc te trójkąty są podobne. Skala:
\[k=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert EC\rvert}=\frac{6{,}5}{13}=\frac12.\]
Stosunek pól jest kwadratem skali:
\[P_{DBC}=\left(\tfrac12\right)^2\cdot30=7{,}5\ \mathrm{cm}^2.\]
Rysunek jest w skali \(1:1000\), więc pola rzeczywiste są \(1000^2=10^6\) razy większe:
\[P_2=7{,}5\cdot10^6\ \mathrm{cm}^2=750\ \mathrm{m}^2\]
(korzystamy z \(1\ \mathrm{m}^2=10^4\ \mathrm{cm}^2\)).
Koszt działki:
\[750\cdot35\ \text{zł}=26\,250\ \text{zł}>26\,000\ \text{zł}.\]
**Odpowiedź.** Działka \(P_2\) kosztuje \(26\,250\ \text{zł}\), a więc przeznaczona kwota nie wystarczy — brakuje \(250\ \text{zł}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**7.1. (1 pkt)** – wyznaczenie skali podobieństwa \(k\) trójkątów \(ACE\) i \(DCB\): \(k=\frac{BC}{EC}=\frac{6{,}5}{13}=\frac{1}{2}\).
**7.2. (1 pkt)** – wyznaczenie zależności między polami trójkątów podobnych \(P\) i \(P_{2}\): \(P_{2}=\frac{1}{4}P\).
**7.3. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(AC\): \(AC=12\) cm.
**7.4. (1 pkt)** – obliczenie pola działki \(P\) (na rysunku): \(P=30\) cm\(^{2}\).
**7.5. (1 pkt)** – obliczenie pola działki \(P\) (w rzeczywistości): \(P=3000\) m\(^{2}\).
**7.6. (1 pkt)** – obliczenie pola działki \(P_{2}\): \(P_{2}=750\) m\(^{2}\).
**7.7. (1 pkt)** – obliczenie kosztu zakupu działki \(P_{2}\) i podanie poprawnej odpowiedzi: Przeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
