Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n>1\) największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność
\[x^2-3nx+2n^2<0\]
o niewiadomej \(x\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Odpowiedź
\(f(n)=2n-1\) dla \(n\in\mathbb{N}\), \(n\gt 1\) (zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((n,2n)\)).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność kwadratową z niewiadomą \(x\), w której \(n\) pełni rolę parametru. Plan: rozwiązać nierówność zwyczajnie (wyróżnik, pierwiastki, znak trójmianu), a dopiero na otrzymanym przedziale wskazać największą liczbę całkowitą.
**Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2-3nx+2n^2\) traktowanego jako trójmian zmiennej \(x\): \[\Delta=(-3n)^2-4\cdot1\cdot2n^2=9n^2-8n^2=n^2.\] Ponieważ \(n\gt1\), mamy \(n\gt0\), więc \(\Delta\gt0\) oraz \(\sqrt{\Delta}=|n|=n\).
**Krok \(3\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_1=\frac{3n-n}{2}=n,\qquad x_2=\frac{3n+n}{2}=2n.\] Ponieważ \(n\gt1\gt0\), zachodzi \(n\lt2n\).
**Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona do góry i przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział otwarty \[x\in(n,2n).\]
**Krok \(5\).** Szukamy największej liczby całkowitej w tym przedziale. Liczba \(2n\) jest całkowita (bo \(n\) jest naturalne), ale do przedziału nie należy, bo nierówność jest ostra. Kolejną liczbą całkowitą w dół jest \(2n-1\).
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, że \(2n-1\) rzeczywiście należy do \((n,2n)\): oczywiście \(2n-1\lt2n\), a ponadto \[2n-1-n=n-1\gt0\quad\text{dla }n\gt1,\] czyli \(2n-1\gt n\). Zatem \(f(n)=2n-1\).
**Uwaga.** Dwa miejsca wymagają ostrożności. Po pierwsze, końce przedziału są wyłączone (nierówność jest ostra), więc odpowiedzią nie jest \(2n\), tylko \(2n-1\). Po drugie, założenie \(n\gt1\) z treści nie jest ozdobne: to ono gwarantuje, że \(2n-1\) leży wewnątrz przedziału. Dla \(n=1\) przedział \((1,2)\) nie zawierałby żadnej liczby całkowitej i wzór by się załamał.
**Odpowiedź.** \(f(n)=2n-1\) dla \(n\in\mathbb{N}\), \(n\gt 1\) (zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((n,2n)\)).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: \(n\), \(2n\).
**11.2. (1 pkt)** – Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności \(x^{2}-3nx+2n^{2}<0\): \((n,2n)\).
**11.3. (1 pkt)** – Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność i zapisanie wzoru funkcji \(f\): \(2n-1\), \(f(n)=2n-1\), dla \(n>1\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
