Okręgi i koła
Zadanie 12, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Dwa okręgi, każdy o promieniu \(8\), są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku.
Odpowiedź
\[P=64\sqrt3-\frac{64\pi}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(A\) i \(B\) środki okręgów, a przez \(C\) i \(D\) punkty styczności prostych poprowadzonych z \(A\) z okręgiem o środku \(B\).
Okręgi są styczne zewnętrznie, więc \(\lvert AB\rvert=8+8=16\).
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt \(ABC\) jest prostokątny o kącie prostym przy \(C\), przeciwprostokątnej \(16\) i przyprostokątnej \(\lvert BC\rvert=8\). Stąd
\[\sin\lvert\angle CAB\rvert=\frac{8}{16}=\frac12,\qquad \lvert\angle CAB\rvert=30^\circ,\qquad \lvert\angle ABC\rvert=60^\circ,\]
\[\lvert AC\rvert=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt3.\]
Zacieniowana figura to deltoid \(ACBD\) pomniejszony o wycinek koła o środku \(B\) i kącie środkowym \(\lvert\angle CBD\rvert=2\cdot60^\circ=120^\circ\).
Pole deltoidu (dwa przystające trójkąty prostokątne):
\[P_{ACBD}=2\cdot\tfrac12\cdot8\sqrt3\cdot8=64\sqrt3.\]
Pole wycinka:
\[P_{w}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot8^2=\frac{64\pi}{3}.\]
Zatem
\[P=64\sqrt3-\frac{64\pi}{3}\approx110{,}85-67{,}02\approx43{,}8.\]
**Odpowiedź.** \(P=64\sqrt3-\dfrac{64\pi}{3}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**12.1. (1 pkt)** – Zauważenie, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i kąt \(ABC\) ma miarę \(60^{\circ}\) (na rysunku zaznaczony punkt \(D\)).
**12.2. (1 pkt)** – Zapisanie pola zacieniowanej figury jako odpowiedniej różnicy pól: np. deltoidu \(ADBC\) i wypukłego wycinka kołowego \(DBC\).
**12.3. (1 pkt)** – Obliczenie pola deltoidu \(ADBC\): \(P_{ADBC}=64\sqrt{3}\).
**12.4. (1 pkt)** – Obliczenie pola zacieniowanej figury: \(P_{f}=64\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right)\).
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
