Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, maj 2019, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność
\[3a^2-2ab+3b^2\geq0.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę:
\[3a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2.\]
Każdy składnik po prawej stronie jest nieujemny dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). Ich suma jest więc nieujemna, czyli
\[3a^2-2ab+3b^2\geq0.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu wraz z uzasadnieniem nieujemności wszystkich składników
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci sumy wielokrotności kwadratów, np. \((a-b)^2+2a^2+2b^2\), bez pełnego komentarza kończącego dowód, albo wykonanie innego istotnego kroku wskazanego w kluczu CKE
**0 pkt** – sprawdzenie jedynie wybranych wartości albo brak poprawnego uzasadnienia
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 używanie wzorów skróconego mnożenia na \((a+b)^2\) i \((a-b)^2\).
