Nierówności
Zadanie 7, maj 2010, poziom podstawowy
Do zbioru rozwiązań nierówności \((x-2)(x+3)<0\) należy liczba
**A.** \(9\)
**B.** \(7\)
**C.** \(4\)
**D.** \(1\)
Odpowiedź
D. \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch wyrażeń liniowych, a po prawej zero — to nierówność kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Standardowy sposób: odczytujemy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę i odczytujemy z rysunku, gdzie przyjmuje ona wartości ujemne.
**Krok \(2\).** Miejsca zerowe to liczby, dla których któryś czynnik się zeruje:
\[x-2=0\ \Rightarrow\ x=2,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3.\]
**Krok \(3\).** Po wymnożeniu nawiasów przy \(x^{2}\) stałby współczynnik \(1\), czyli liczba dodatnia. Parabola ma więc ramiona skierowane do góry: nad osią leży na zewnątrz miejsc zerowych, a pod osią — między nimi.
**Krok \(4\).** Szukamy wartości ujemnych, więc zbiorem rozwiązań jest przedział między miejscami zerowymi:
\[x\in(-3,2).\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy podane liczby: \(9\), \(7\) i \(4\) są większe od \(2\), więc do tego przedziału nie należą. Należy tylko \(1\), bo \(-3\lt 1\lt 2\).
**Krok \(6\).** Kontrola przez podstawienie \(x=1\) do nierówności:
\[(1-2)(1+3)=(-1)\cdot 4=-4\lt 0,\]
czyli warunek jest spełniony.
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc końce przedziału, liczby \(-3\) i \(2\), do zbioru rozwiązań nie należą — dla nich iloczyn jest równy \(0\), a nie mniejszy od \(0\).
**Odpowiedź.** D. \(1\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.
