Nierówności
Zadanie 26, czerwiec 2017, poziom podstawowy
( ) ( ) ( )
Rozwiąż nierówność \(x - 1 x > 3 x - 1 x + 1\) .
\(2\) \(2\) \(3\)
Odpowiedź
x ∈ (−\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\))
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozwiązujemy nierówność
\[\left(x-\tfrac12\right)x\gt3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right).\]
Po obu stronach występuje ten sam czynnik \(\left(x-\frac12\right)\). Nie wolno przez niego dzielić, bo nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny (a nawet czy nie jest zerem). Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy go przed nawias — dostaniemy nierówność iloczynową.
**Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo:
\[\left(x-\tfrac12\right)x-3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right)\gt0.\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(\left(x-\frac12\right)\):
\[\left(x-\tfrac12\right)\left[x-3\left(x+\tfrac13\right)\right]\gt0.\]
**Krok \(4\).** Upraszczamy nawias kwadratowy:
\[x-3x-1=-2x-1,\]
więc nierówność przyjmuje postać
\[\left(x-\tfrac12\right)(-2x-1)\gt0.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(-1\), pamiętając o zmianie zwrotu nierówności:
\[\left(x-\tfrac12\right)(2x+1)\lt0.\]
**Krok \(6\).** Miejsca zerowe lewej strony to \(x=\frac12\) oraz \(x=-\frac12\). Po wymnożeniu otrzymalibyśmy funkcję kwadratową ze współczynnikiem \(2\) przy \(x^2\), więc ramiona odpowiedniej paraboli są skierowane w górę.
**Krok \(7\).** Parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości ujemne dokładnie między swoimi miejscami zerowymi, więc
\[x\in\left(-\tfrac12,\tfrac12\right).\]
**Krok \(8\).** Sprawdzenie dla \(x=0\): lewa strona wyjściowej nierówności to \(\left(-\frac12\right)\cdot0=0\), a prawa \(3\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac13=-\frac12\). Rzeczywiście \(0\gt-\frac12\), więc \(x=0\) należy do zbioru rozwiązań.
**Uwaga.** Skrócenie obu stron przez \(\left(x-\frac12\right)\) jest błędem, który zwykle prowadzi do odpowiedzi w postaci jednej półprostej — traci się informację o zmianie zwrotu nierówności przy ujemnym czynniku oraz o punkcie \(x=\frac12\). Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą.
**Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac12,\frac12\right)\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie pierwiastków −1/2 i 1/2. 2 pkt: poprawny otwarty przedział rozwiązań.
Wymagania podstawy programowej
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).
