Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 27, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość
\[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{2}.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2.\]
Odpowiedź
\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac14.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podnosimy warunek do kwadratu:
\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac74.\]
Stąd \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\). Zatem
\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac34=\frac14.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie i zapisanie wyniku \(\frac14\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\) albo zapisanie \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) i proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi.
