Nierówności
Zadanie 23, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[-2x^2+2x+24\geqslant0.\]
Odpowiedź
\(x\in[-3,4]\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: rozwiązujemy nierówność kwadratową — najpierw wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, a potem odczytujemy zbiór rozwiązań z kierunku ramion paraboli.
**Krok \(2\).** W trójmianie \(-2x^{2}+2x+24\) mamy \(a=-2\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
**Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta=2^{2}-4\cdot(-2)\cdot 24=4+192=196,\qquad \sqrt{\Delta}=14.\]
**Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe:
\[x_{1}=\frac{-2-14}{2\cdot(-2)}=\frac{-16}{-4}=4,\qquad x_{2}=\frac{-2+14}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3.\]
**Krok \(5\).** Zapisujemy postać iloczynową: \(-2(x-4)(x+3)\geq 0\). Ponieważ ramiona są skierowane w dół, wartości nieujemne trójmian przyjmuje pomiędzy miejscami zerowymi, a nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru rozwiązań.
**Uwaga.** Ujemny współczynnik przy \(x^{2}\) odwraca sytuację: przy \(a\gt 0\) zbiorem rozwiązań nierówności \(\geq 0\) byłaby suma dwóch przedziałów zewnętrznych, a przy \(a\lt 0\) — jeden przedział pomiędzy pierwiastkami.
**Odpowiedź.** \(x\in[-3,4]\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −3 i 4. 2 pkt: poprawny domknięty przedział [−3,4].
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.
