Funkcje
Zadanie 24, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{2x-b}{x-9}\]
dla \(x\neq9\), a \(f(14)=5\). Oblicz współczynnik \(b\).
Odpowiedź
\(b=3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: we wzorze funkcji jedyną nieznaną wielkością jest \(b\), a warunek \(f(14)=5\) mówi, że po wstawieniu \(x=14\) wartość ułamka ma wyjść \(5\). Podstawienie zamienia więc warunek w zwykłe równanie liniowe z niewiadomą \(b\).
**Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=14\) do wzoru funkcji. Wolno to zrobić, bo \(14\neq9\), czyli \(14\) należy do dziedziny:
\[f(14)=\frac{2\cdot14-b}{14-9}.\]
**Krok \(3\).** Liczymy osobno licznik i mianownik: \(2\cdot14=28\) oraz \(14-9=5\), więc
\[f(14)=\frac{28-b}{5}.\]
**Krok \(4\).** Korzystamy z warunku \(f(14)=5\) i zapisujemy równanie:
\[\frac{28-b}{5}=5.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(5\), żeby pozbyć się ułamka:
\[28-b=25.\]
**Krok \(6\).** Wyznaczamy \(b\):
\[b=28-25=3.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy wynik, wstawiając \(b=3\) do wzoru:
\[f(14)=\frac{2\cdot14-3}{14-9}=\frac{25}{5}=5,\]
czyli zgadza się z warunkiem z treści.
**Uwaga.** Liczba \(5\) po prawej stronie równania jest **wartością funkcji**, a nie argumentem. Podstawianie \(x=5\) zamiast \(x=14\) jest tu najczęstszą pomyłką.
**Odpowiedź.** \(b=3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne równanie wynikające z f(14)=5. 2 pkt: b=3.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza parametr funkcji wymiernej z podanej wartości.
