Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 31, sierpień 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\neq2y\), prawdziwa jest nierówność
\[x^2+4y^2-4>4(xy-1).\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\) spełniających \(x\neq2y\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy nierówność równoważnie:
\[x^2+4y^2-4>4xy-4,\]
\[x^2-4xy+4y^2>0,\]
\[(x-2y)^2>0.\]
Z założenia \(x\neq2y\), więc \(x-2y\neq0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni, zatem \((x-2y)^2>0\). To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-2y)^2>0\) oraz powołanie się na założenie i dodatniość kwadratu liczby różnej od zera
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(x^2-4xy+4y^2>0\) albo wykonanie równoważnego istotnego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, sprawdzenie tylko wybranych wartości albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
