Zadanie 2 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy \[(a+2b)^{3}-8a^{2}b-16ab^{2}=(a-2b)^{2}(a+2b).\] Ponieważ \(a>0\), \(b>0\), mamy \(a+2b>0\), a z warunku \(b\neq\frac{a}{2}\) wynika \((a-2b)^{2}>0\). Iloczyn jest więc dodatni, co dowodzi nierówności.

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) \(a_{3}\) + \(6a2b\) + \(12ab2\) + \(8b3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) \(a_{3}\) − \(2a2b\) − \(4ab2\) + \(8b3\) > \(0\) \(a_{2}\)(a − \(2b\)) − \(4b2\)(a − \(2b\)) > \(0\) (a − \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób II Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8ab\)(a + \(2b\)) (a + \(2b\))\(3\) − \(8ab\)(a + \(2b\)) > \(0\) (a + \(2b\))[(a + \(2b\))\(2\) − \(8ab\)] > \(0\) (a + \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4ab\) + \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób III Niech \(f\) będzie funkcją określoną wzorem \(f\)(a) = (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) dla każdego a ∈ (\(0\), +∞). Obliczamy pochodną funkcji \(f\) oraz jej miejsca zerowe: \(f\)′(a) = \(3\)(a + \(2b\))\(2\) − \(16ba\) − \(16b2\) \(3a2\) + \(12ab\) + \(12b2\) − \(16ba\) − \(16b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(3a2\) − \(4ba\) − \(4b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(2\) (a = − b ∨ a = \(2b\)) ∧ a > \(0\) \(3\) Gdy b > \(0\), to \(f\)′(a) > \(0\) dla a ∈ (\(2b\), +∞) oraz \(f\)′(a) < \(0\) dla a ∈ (\(0\), \(2b\)). Zatem przy b dodatnim funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale (\(0\), \(2b\)] oraz rosnąca w przedziale [\(2b\), +∞), czyli funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego a = \(2b\). Ta najmniejsza wartość jest równa \(f\)(\(2b\)) = (\(2b\) + \(2b\))\(3\) − \(8\) ⋅ (\(2b\))\(2\) ⋅ b − \(16\) ⋅ \(2b\) ⋅ \(b_{2}\) = \(0\). Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że a ≠ \(2b\), prawdziwa jest nierówność (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) To należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci \(a^{2}(a-2b)-4b^{2}(a-2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)\left[(a+2b)^{2}-8ab\right]>0\), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)^{2}>8ab\), ALBO rozważenie funkcji \(f(a)=a^{3}-2ba^{2}-4b^{2}a+8b^{3}\) określonej dla \(a>0\) oraz obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej: \(f'(a)=3a^{2}-4ba-4b^{2}\) oraz \(a=2b\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}(a+2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}>0\), ALBO uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(a=2b\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że \(a+2b>0\) oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek \(b\neq\frac{1}{2}a\) zachodzi \((a-2b)^{2}>0\)). Uwaga. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: […] \((a+b)^n\) […].