Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) określona wzorem
\[f(x)=(m^2-1)x^2-2(1-m)x+2\]
przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej.
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-3)\cup[1,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Gdy \(m^2-1=0\), funkcja jest liniowa lub stała. Dla \(m=-1\) mamy \(f(x)=-4x+2\), więc warunek nie zachodzi. Dla \(m=1\) mamy \(f(x)=2>0\), więc \(m=1\) jest rozwiązaniem.
Gdy \(m^2-1\neq0\), funkcja jest kwadratowa i jest dodatnia dla każdego \(x\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\[m^2-1>0\quad\text{oraz}\quad\Delta<0.\]
Pierwszy warunek daje \(m\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Ponadto
\[\Delta=4(1-m)^2-8(m^2-1)=-4(m-1)(m+3),\]
więc \(\Delta<0\) dla \(m<-3\) lub \(m>1\). Część wspólna warunków kwadratowych to \((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\). Po dołączeniu przypadku \(m=1\) otrzymujemy \((-\infty,-3)\cup[1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawny zbiór \((-\infty,-3)\cup[1,+\infty)\) z rozpatrzeniem przypadków liniowych i kwadratowego
**4 pkt** – poprawne warunki dla funkcji kwadratowej i wynik z pominięciem przypadku \(m=1\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie układu \(m^2-1>0\), \(\Delta<0\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie obu warunków dla funkcji kwadratowej
**1 pkt** – zauważenie potrzeby osobnego rozpatrzenia \(m=\pm1\) lub poprawne rozpoczęcie analizy wyróżnika
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
3.2. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.
