Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 32, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[x^2+49y^2>2(x+7y-1).\]
Odpowiedź
\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\quad\text{dla każdego }x\neq1\text{ i }y\in\mathbb R.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy nierówność równoważnie:
\[x^2+49y^2>2(x+7y-1),\]
\[x^2-2x+1+49y^2-14y+1>0,\]
\[(x-1)^2+(7y-1)^2>0.\]
Z założenia \(x\neq1\), więc \((x-1)^2>0\). Jednocześnie \((7y-1)^2\geq0\) dla każdego \(y\in\mathbb R\). Suma tych składników jest zatem dodatnia, co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-1)^2+(7y-1)^2>0\) i uzasadnienie jej prawdziwości na podstawie założenia \(x\neq1\)
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((x-1)^2+(7y-1)^2>0\) albo wykonanie innego poprawnego istotnego kroku prowadzącego do dowodu
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
