Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 34, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że jeśli \(x,y\) są liczbami rzeczywistymi, to
\[x^2+y^2\geq2xy.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi
\[(x-y)^2\geq0.\]
Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy
\[x^2-2xy+y^2\geq0,\]
czyli
\[x^2+y^2\geq2xy.\]
To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – pełny dowód
**1 pkt** – zapisanie \((x-y)^2\geq0\) i rozpoczęcie przekształcenia
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
