Liczby rzeczywiste
Zadanie 36, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są wyrazy:
\[a_3=4,\qquad a_6=19.\]
Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału \((0,200)\)?
Odpowiedź
Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Z danych otrzymujemy układ
\[\begin{cases}a_1+2r=4,\\a_1+5r=19.\end{cases}\]
Po odjęciu równań mamy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Zatem
\[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\]
Szukamy indeksów spełniających
\[0<5n-11<200.\]
Stąd
\[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\]
Dla naturalnych \(n\) oznacza to \(3\leq n\leq42\). Liczba takich indeksów wynosi
\[42-3+1=40.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wzoru ciągu, zakresu \(3\leq n\leq42\) i odpowiedzi \(40\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\), \(a_1=-6\) oraz nierówności \(0<5n-11<200\), lecz błąd w zliczeniu indeksów
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\) albo równoważnego wzoru \(a_n=5n-11\)
**1 pkt** – poprawne ułożenie układu równań z danych \(a_3=4\), \(a_6=19\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
