Trójkąty
Zadanie 107, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD|=|CD|\) oraz \(|AB|=|BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\angle ADC|=5\cdot|\angle ACD|\).
Odpowiedź
\[\lvert\angle ADC\rvert=5\lvert\angle ACD\rvert.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\gamma=\lvert\angle ACD\rvert=\lvert\angle ACB\rvert\).
Z założenia \(\lvert AD\rvert=\lvert CD\rvert\), więc trójkąt \(ACD\) jest równoramienny i
\[\lvert\angle DAC\rvert=\gamma,\qquad \lvert\angle ADC\rvert=180^\circ-2\gamma.\]
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), więc kąty \(ADC\) i \(ADB\) są przyległe:
\[\lvert\angle ADB\rvert=2\gamma.\]
Z założenia \(\lvert AB\rvert=\lvert BD\rvert\), więc trójkąt \(ABD\) jest równoramienny o podstawie \(AD\) — kąty przy tej podstawie są równe:
\[\lvert\angle DAB\rvert=\lvert\angle ADB\rvert=2\gamma,\qquad \lvert\angle ABD\rvert=180^\circ-4\gamma.\]
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny (\(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\)), więc kąty przy podstawie \(AB\) są równe:
\[\lvert\angle BAC\rvert=\lvert\angle ABC\rvert=180^\circ-4\gamma.\]
Z sumy kątów trójkąta \(ABC\):
\[2\left(180^\circ-4\gamma\right)+\gamma=180^\circ,\qquad 7\gamma=180^\circ,\qquad \gamma=\frac{180^\circ}{7}.\]
Zatem
\[\lvert\angle ADC\rvert=180^\circ-2\gamma=7\gamma-2\gamma=5\gamma=5\lvert\angle ACD\rvert,\]
co należało udowodnić.
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle ADC\rvert=5\lvert\angle ACD\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
