Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność
\[a(a+b)+b^2>3ab.\]
Odpowiedź
\[a(a+b)+b^2>3ab\quad\text{dla}\quad a\ne b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy różnicę stron nierówności:
\[a(a+b)+b^2-3ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\]
Ponieważ \(a\ne b\), mamy \(a-b\ne0\), a zatem
\[(a-b)^2>0.\]
To dowodzi podanej nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie pełnego uzasadnienia wykorzystującego \(a\ne b\)
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-b)^2>0\) albo równoważne wykazanie, że rozpatrywany trójmian ma wyróżnik równy zero
**0 pkt** – sprawdzenie jedynie wybranych wartości albo brak poprawnego uzasadnienia
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** rozumowanie i argumentacja - dowód algebraiczny z użyciem wzoru skróconego mnożenia.
