Okręgi i koła
Zadanie 29, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Okręgi o promieniach \(2\) i \(6\) są styczne zewnętrznie i do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta przez ich środki przecina k pod kątem \(30^{\circ}\).
Odpowiedź
Różnica wysokości środków wynosi \(4\), a SP=\(8\), więc sinα=\(\frac{4}{8=1}\)/\(2\) i α=\(30\)°
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(S\) i \(P\) środki okręgów o promieniach \(6\) i \(2\). Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc odległości środków od prostej \(k\) są równe \(6\) i \(2\).
Okręgi są styczne zewnętrznie, zatem
\[\lvert SP\rvert=6+2=8.\]
Rzutując \(P\) na prostą prostopadłą do \(k\) poprowadzoną przez \(S\), otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\lvert SP\rvert=8\) i przyprostokątnej równej różnicy odległości środków od \(k\), czyli \(6-2=4\). Kąt \(\alpha\) między prostą \(SP\) a prostą \(k\) spełnia
\[\sin\alpha=\frac48=\frac12,\]
a ponieważ jest to kąt ostry, \(\alpha=30^\circ\), co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Prosta przechodząca przez środki okręgów tworzy z prostą \(k\) kąt \(30^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 8 i przyprostokątnej 4.
2 pkt: pełne uzasadnienie α=30°.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
