Ciągi
Zadanie 27, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Dany jest ciąg (x+\(2\),\(4x\)+\(2\),x+\(11\)). Oblicz wszystkie x, dla których jest geometryczny.
Odpowiedź
x=\(1\) lub x=−\(\frac{6}{5}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(4x+2)^{2}=(x+2)(x+11).\]
Po rozwinięciu obu stron
\[16x^{2}+16x+4=x^{2}+13x+22,\qquad 15x^{2}+3x-18=0,\qquad 5x^{2}+x-6=0.\]
Wyróżnik jest równy \(\Delta=1+120=121\), \(\sqrt\Delta=11\), więc
\[x=\frac{-1-11}{10}=-\frac65\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{-1+11}{10}=1.\]
Sprawdzamy, czy żaden wyraz nie jest zerem: dla \(x=1\) ciąg to \((3,6,12)\), a dla \(x=-\frac65\) ciąg to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\). Oba są poprawnymi ciągami geometrycznymi.
**Odpowiedź.** \(x=1\) lub \(x=-\frac65\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: równanie (4x+2)²=(x+2)(x+11).
2 pkt: x=1 lub x=−6/5.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
