Ciąg arytmetyczny
Zadanie 33, sierpień 2024, poziom podstawowy
Ciąg \((a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})\) jest arytmetyczny. Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o \(12\) większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu. Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź
Niech r oznacza różnicę ciągu. Mamy \(a_{2}\)=\(a_{1}\)+r, \(a_{3}\)=\(a_{1}\)+\(2r\) i \(a_{4}\)=\(a_{1}\)+\(3r\). Z warunku \(a_{1}\)+\(a_{2}\)=\(a_{3}\)+\(a_{4}\)+\(12\) wynika −\(4r\)=\(12\), więc r=−\(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Wtedy \(a_2=a_1+r\), \(a_3=a_1+2r\) oraz \(a_4=a_1+3r\). Warunek zadania zapisujemy jako
\[a_1+a_2=(a_3+a_4)+12.\]
Po podstawieniu
\[2a_1+r=2a_1+5r+12,\qquad -4r=12,\qquad r=-3.\]
Pierwszy wyraz się skrócił, więc warunek wyznacza samą różnicę.
**Odpowiedź.** \(r=-3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie równania, z którego można obliczyć różnicę ciągu.
2 pkt: poprawna metoda i r=−3.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne.
Wymaganie szczegółowe: 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
