Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 32, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x>2y\), zachodzi nierówność
\[x^2+3xy-10y^2>0.\]
Odpowiedź
\(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)>0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[x^2+3xy-10y^2=x^2+5xy-2xy-10y^2=(x-2y)(x+5y).\]
Z założenia \(x>2y\), więc \(x-2y>0\). Ponieważ \(x\) i \(y\) są dodatnie, również \(x+5y>0\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem
\[x^2+3xy-10y^2>0.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne rozumowanie: zapis \((x-2y)(x+5y)>0\) oraz wykorzystanie założeń do uzasadnienia dodatniości obu czynników
**1 pkt** – rozkład \(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)\) albo równoważny istotny postęp wskazany w kluczu
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania. Samo sprawdzenie nierówności dla wybranych wartości \(x\) i \(y\) nie stanowi dowodu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne - rozkład na czynniki i przeprowadzenie dowodu nierówności.
