Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 31, sierpień 2022, poziom podstawowy
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność
\[2a^2-4ab+5b^2>0.\]
Odpowiedź
Dla \(a\neq0\) i \(b\neq0\) zachodzi \(2a^2-4ab+5b^2>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę do sumy składników nieujemnych:
\[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2.\]
Pierwszy składnik jest nieujemny. Ponieważ \(b\neq0\), mamy \(3b^2>0\). Stąd
\[2(a-b)^2+3b^2>0,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne uzasadnienie dodatniości wyrażenia dla podanych założeń
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie wyrażenia do postaci \(2(a-b)^2+3b^2\) albo równoważne rozpoczęcie dowodu, np. przez wyróżnik
**0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III i IV użycie obiektów matematycznych oraz przeprowadzenie rozumowania.
**Wymagania szczegółowe:**
I.3 stosowanie wzorów skróconego mnożenia i przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
