Ciąg arytmetyczny
Zadanie 30, sierpień 2022, poziom podstawowy
Trójwyrazowy ciąg \((x,y-4,y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). **Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.**
Odpowiedź
Wyrazy ciągu są równe \(-2\), \(2\), \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc
\[2(y-4)=x+y,\qquad y-x=8.\]
Z warunku dotyczącego sumy:
\[x+(y-4)+y=6,\qquad x+2y=10.\]
Podstawiając \(y=x+8\), otrzymujemy \(3x+16=10\), czyli \(x=-2\) i \(y=6\). Szukany ciąg ma postać
\[(-2,2,6).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wyrazów ciągu: \((-2,2,6)\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z arytmetyczności ciągu lub z warunku jego sumy
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. tworzenie i stosowanie modelu matematycznego.
**Wymagania szczegółowe:**
V.2 i III.1 stosowanie własności ciągu arytmetycznego i rozwiązywanie układów równań liniowych.
