Trójkąty
Zadanie 32, sierpień 2021, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt \(B\) ma miarę \(30^\circ\). Punkt \(D\) leży na boku \(AB\), kąt \(CDA\) ma miarę \(60^\circ\), a odcinek \(AD\) ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(BD\).
Odpowiedź
\[|BD|=12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie \(ABC\) mamy \(|\angle B|=30^\circ\) i \(|\angle A|=90^\circ\), więc \(|\angle BCA|=60^\circ\). W trójkącie \(ACD\) kąt \(CDA\) ma \(60^\circ\), zatem \(|\angle DCA|=30^\circ\). Stąd
\[|\angle BCD|=60^\circ-30^\circ=30^\circ.\]
Trójkąt \(BCD\) jest więc równoramienny i \(|BD|=|CD|\). Trójkąt \(ACD\) ma kąty \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\), a bok \(AD=6\) leży naprzeciw kąta \(30^\circ\). Jego przeciwprostokątna ma długość
\[|CD|=2|AD|=12.\]
Zatem \(|BD|=12\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(|BD|=12\)
**1 pkt** – obliczenie \(|\angle BCD|=30^\circ\), zapisanie \(|BD|=|CD|\), zależności \(|CD|=2|AD|\) lub innej poprawnej zależności prowadzącej do wyniku
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie własności trójkąta prostokątnego o kątach \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\) oraz własności trójkąta równoramiennego.
