Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, sierpień 2019, poziom podstawowy
− x
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność \(x + \geq 1\).
x
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).
Ułamek został rozłożony przez ekstraktor na trzy wiersze PDF: licznik trafił nad tekst („− x”), mianownik pod tekst („x”), a w samym zdaniu została kreska ułamkowa. Odtworzony licznik „1 − x” jest jedyną postacią zgodną z modelem odpowiedzi CKE, który sprowadza nierówność do warunku (x − 1)² ≥ 0.Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla każdej liczby \(x>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać
\[x+\frac{1-x}{x}\ge1.\]
Z założenia \(x>0\), więc mnożenie obu stron przez \(x\) nie zmienia kierunku nierówności:
\[x^{2}+1-x\ge x.\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\[x^{2}-2x+1\ge0,\qquad (x-1)^{2}\ge0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, a wszystkie przekształcenia były równoważne przy \(x>0\). Równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\).
**Odpowiedź.** Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(x\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne przekształcenie. 2 pkt: pełne uzasadnienie.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
