Trójkąty
Zadanie 29, sierpień 2019, poziom podstawowy
Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na
boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C,
a ponadto \(AC = r 3\) . Wykaż, że kąt ACB ma \(miarę120\)° .
C
A B
S
Odpowiedź
SC⊥BC, a w trójkącie równoramiennym ACS mamy ∠ACS=\(30\)°, więc ∠ACB=\(120\)°.
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinki \(SA\) i \(SC\) są promieniami okręgu, więc trójkąt \(ACS\) jest równoramienny o ramionach długości \(r\) i podstawie \(\lvert AC\rvert=r\sqrt3\).
Z twierdzenia cosinusów w tym trójkącie
\[\left(r\sqrt3\right)^2=r^2+r^2-2r^2\cos\lvert\angle ASC\rvert,\qquad \cos\lvert\angle ASC\rvert=-\tfrac12,\qquad \lvert\angle ASC\rvert=120^\circ.\]
Kąty przy podstawie są równe, więc
\[\lvert\angle ACS\rvert=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.\]
Prosta \(BC\) jest styczna do okręgu w punkcie \(C\), a promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc
\[\lvert\angle SCB\rvert=90^\circ.\]
Punkt \(S\) leży na boku \(AB\), a więc wewnątrz kąta \(ACB\), zatem
\[\lvert\angle ACB\rvert=\lvert\angle ACS\rvert+\lvert\angle SCB\rvert=30^\circ+90^\circ=120^\circ,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle ACB\rvert=120^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie \(\lvert\angle ACS\rvert=30^\circ\) albo wykorzystanie prostopadłości stycznej i promienia.
**2 pkt** – pełny dowód, że \(\lvert\angle ACB\rvert=120^\circ\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
