Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, sierpień 2017, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\(1\)
\(4x + \geq 4\) .
x
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac1x\ge4\).
Ułamek został rozbity przez ekstraktor na trzy wiersze: licznik „1” nad tekstem, mianownik „x” pod tekstem, kreska ułamkowa w wierszu głównym. Odczyt zgadza się z modelem odpowiedzi CKE sprowadzającym nierówność do warunku (2x − 1)² ≥ 0.Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla każdej liczby \(x>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać
\[4x+\frac1x\ge4.\]
Z założenia \(x>0\), więc mnożenie obu stron przez \(x\) nie zmienia kierunku nierówności:
\[4x^{2}+1\ge4x.\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\[4x^{2}-4x+1\ge0,\qquad (2x-1)^{2}\ge0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, a wszystkie przekształcenia były równoważne przy \(x>0\). Równość zachodzi dokładnie dla \(x=\tfrac12\).
**Odpowiedź.** Nierówność \(4x+\dfrac1x\ge4\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(x\), co należało udowodnić.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne przekształcenie do nierówności kwadratowej. 2 pkt: pełny dowód z uwzględnieniem x > 0.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
