Trójkąty
Zadanie 29, sierpień 2017, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym \(ACB = 90^{\circ}\) i \(ABC = 60^{\circ}\) . Niech D
oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego
i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że \(AD : DB = 3 : 1\).
Odpowiedź
W trójkącie \(30\)°–\(60\)°–\(90\)° mamy DB = AB/\(4\) i AD = \(\frac{3AB}{4}\), więc AD : DB = \(3 : 1\).
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie \(ABC\) mamy \(\lvert\angle ACB\rvert=90^\circ\) i \(\lvert\angle ABC\rvert=60^\circ\), więc \(\lvert\angle BAC\rvert=30^\circ\).
Wysokość \(CD\) dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne podobne do wyjściowego. Z podobieństwa trójkątów \(ACD\) i \(ABC\) (wspólny kąt przy \(A\), oba prostokątne) oraz \(BCD\) i \(BAC\) otrzymujemy zależności
\[\lvert AD\rvert=\frac{\lvert AC\rvert^2}{\lvert AB\rvert},\qquad \lvert DB\rvert=\frac{\lvert BC\rvert^2}{\lvert AB\rvert}.\]
Oznaczmy \(\lvert AB\rvert=c\). W trójkącie o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) naprzeciw kąta \(30^\circ\) leży bok równy połowie przeciwprostokątnej:
\[\lvert BC\rvert=c\cos60^\circ=\tfrac12c,\qquad \lvert AC\rvert=c\sin60^\circ=\frac{c\sqrt3}{2}.\]
Stąd
\[\lvert AD\rvert=\frac{\frac34c^2}{c}=\tfrac34c,\qquad \lvert DB\rvert=\frac{\frac14c^2}{c}=\tfrac14c,\]
a więc
\[\lvert AD\rvert:\lvert DB\rvert=\tfrac34c:\tfrac14c=3:1,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert AD\rvert:\lvert DB\rvert=3:1\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawna zależność długości wynikająca z podobieństwa lub trygonometrii. 2 pkt: pełny dowód.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
