Geometria płaska
Zadanie 30, sierpień 2015, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność
\[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2.\]
Odpowiedź
\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x+y)\geq0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3+y^3-x^2y-xy^2=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y).\] Dla \(x,y\geq0\) mamy \((x-y)^2\geq0\) oraz \(x+y\geq0\), więc ich iloczyn jest nieujemny. To dowodzi nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód z uzasadnieniem nieujemności \((x-y)^2(x+y)\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie różnicy stron do postaci iloczynowej
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne i nierówności, rozkład wielomianu na czynniki.
