Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 29, sierpień 2015, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia równość
\[\tan\alpha+\frac1{\tan\alpha}=\frac72.\]
Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).
Odpowiedź
\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac27.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z zależności \[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}.\] Zatem \(\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac72\), skąd \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac27\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawny wynik \(\frac27\)
**1 pkt** – poprawne przekształcenie \(\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria, związki między funkcjami trygonometrycznymi.
