Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, sierpień 2013, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i
\[a+\frac1a=3,\]
to
\[a^2+\frac1{a^2}=7.\]
Odpowiedź
\[a^{2}+\frac1{a^{2}}=7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(a\neq0\), więc wyrażenie \(a+\tfrac1a\) jest określone. Podnosimy je do kwadratu:
\[\left(a+\frac1a\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot\frac1a+\frac1{a^{2}}=a^{2}+\frac1{a^{2}}+2.\]
Z warunku zadania lewa strona jest równa \(3^{2}=9\), zatem
\[a^{2}+\frac1{a^{2}}=9-2=7.\]
**Odpowiedź.** \(a^{2}+\dfrac1{a^{2}}=7\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: podniesienie danej równości do kwadratu. 2 pkt: pełne uzasadnienie wyniku 7.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
