Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 31, sierpień 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli \(a>0\) i \(b>0\) oraz
\[
\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2},
\]
to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
Odpowiedź
Teza została wykazana: \(a=b\) albo \(a+b=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc obie strony równości są nieujemne i podniesienie ich do kwadratu jest przekształceniem równoważnym:
\[a^{2}+b=a+b^{2}.\]
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i grupujemy:
\[a^{2}-b^{2}-(a-b)=0.\]
Do pierwszej różnicy stosujemy wzór skróconego mnożenia i wyłączamy wspólny czynnik:
\[(a-b)(a+b)-(a-b)=(a-b)\left(a+b-1\right)=0.\]
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, czyli
\[a=b\qquad\text{albo}\qquad a+b=1.\]
**Odpowiedź.** \(a=b\) albo \(a+b=1\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie do (a−b)(a+b−1)=0. 2 pkt: oba przypadki.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – dowodzi alternatywy przez rozkład wyrażenia na czynniki.
