Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 2.2, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Funkcja \(g\) jest określona wzorem
\[g(x)=\left|-\frac14x^2+3x-5\right|\]
dla każdego \(x\in\mathbb R\). Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).
**Zadanie \(2\).\(2\).**
**Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których równanie \(g(x)=|m|\) ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.**
Odpowiedź
\[m\in(-5,-4)\cup\{0\}\cup(4,5).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \(g(0)=5\). Dla funkcji \(f(x)=-\frac14x^2+3x-5\) druga współrzędna wierzchołka wynosi
\[q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9-4(-1/4)(-5)}{4(-1/4)}=4.\]
Jest to wartość lokalnego maksimum funkcji \(g=|f|\) pomiędzy jej miejscami zerowymi \(2\) i \(10\). Niech \(k=|m|\). Z wykresu wynika, że równanie \(g(x)=k\) ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy
\[k=0\quad\text{lub}\quad4<k<5.\]
Stąd
\[|m|=0\quad\text{lub}\quad4<|m|<5,\]
czyli
\[m\in(-5,-4)\cup\{0\}\cup(4,5).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie \(m\in(-5,-4)\cup\{0\}\cup(4,5)\)
**1 pkt** – obliczenie \(g(0)=5\) oraz wartości lokalnego maksimum \(q=4\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych na wykresie.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R4 i III.R5 rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną oraz analiza liczby i własności rozwiązań równania kwadratowego z parametrem.
