Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 1, maj 2025, poziom rozszerzony
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność \(N\) populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
\[N(t)=N_0\cdot k^{t}\qquad\text{dla }t\geq0,\]
gdzie \(N_0\) oznacza liczebność populacji w chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji, \(k\) jest stałą dodatnią charakterystyczną dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, a \(t\) jest czasem wyrażonym w godzinach, liczonym od chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji.
W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa \(10\,000\), a po dwóch godzinach była równa \(15\,625\).
Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Z warunków zadania \(10\,000\cdot k^{2}=15\,625\), więc \(k^{2}=\frac{25}{16}\). Ponieważ \(k>0\), mamy \(k=\frac{5}{4}=1{,}25\). Liczebność populacji wzrastała w każdej godzinie o \(25\%\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: z danych wyznaczamy stałą \(k\), a potem pokazujemy, że iloraz liczebności po kolejnych godzinach jest stały i równy \(k\) — to on decyduje o procentowym przyroście.
**Krok \(2\).** Z warunku \(N(0)=10\,000\) otrzymujemy \(N_{0}\cdot k^{0}=N_{0}=10\,000\).
**Krok \(3\).** Z warunku \(N(2)=15\,625\) otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą:
\[10\,000\cdot k^{2}=15\,625,\qquad k^{2}=\frac{15\,625}{10\,000}=\frac{25}{16}.\]
**Krok \(4\).** Ponieważ \(k\) jest stałą dodatnią, mamy
\[k=\frac{5}{4}=1{,}25.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, o ile zmienia się liczebność w ciągu jednej godziny (dla każdego \(t\geqslant 0\)):
\[\frac{N(t+1)}{N(t)}=\frac{N_{0}k^{t+1}}{N_{0}k^{t}}=k=1{,}25\qquad\text{dla }t\geqslant 0.\]
**Krok \(6\).** Iloraz \(1{,}25=1+0{,}25\) oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność wzrastała o \(25\%\) w stosunku do stanu z początku tej godziny.
**Uwaga.** Przyrost w ciągu dwóch godzin wyniósł \(56{,}25\%\), a nie \(2\cdot 25\%=50\%\) — wzrost wykładniczy się kumuluje, a nie sumuje.
**Odpowiedź.** Liczebność populacji wzrastała w ciągu każdej godziny o \(25\%\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(25\%\).
**1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(k\), np. \(15\,625=10\,000\cdot k^2\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość \(25\%\) spełnia warunki zadania oraz uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest rosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to otrzymuje 1 punkt.
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.14) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną […] do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
