Trójkąty
Zadanie 3, maj 2025, poziom rozszerzony
W trójkącie równobocznym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Stosunek pola trójkąta \(ABD\) do pola trójkąta \(ADC\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\).
Oblicz miarę kąta \(DAC\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Trójkąty \(ABD\) i \(ADC\) mają wysokości opuszczone z punktu \(A\) na tę samą prostą, zatem \(\frac{BD}{DC}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\). Niech \(\alpha=\angle DAC\); wtedy \(\angle BAD=60^{\circ}-\alpha\). Z twierdzenia sinusów otrzymujemy \(\frac{\sin(60^{\circ}-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\), skąd \(\cot\alpha=1\). Zatem \(\angle DAC=45^{\circ}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(ABD\) i \(ADC\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(A\) na prostą \(BC\), więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:
\[\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert DC\rvert}=\frac{\sqrt3-1}{2}.\]
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle DAC\rvert\); ponieważ trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, \(\lvert\angle BAD\rvert=60^{\circ}-\alpha\), przy czym \(0^{\circ}<\alpha<60^{\circ}\).
Pola tych samych trójkątów zapiszmy ze wzoru z sinusem kąta przy wierzchołku \(A\) (korzystamy z \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\)):
\[\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}}=\frac{\frac12\lvert AB\rvert\lvert AD\rvert\sin\left(60^{\circ}-\alpha\right)}{\frac12\lvert AC\rvert\lvert AD\rvert\sin\alpha}=\frac{\sin\left(60^{\circ}-\alpha\right)}{\sin\alpha}.\]
Rozwijamy sinus różnicy:
\[\frac{\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha-\frac12\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3\operatorname{ctg}\alpha-1}{2}=\frac{\sqrt3-1}{2},\]
skąd \(\sqrt3\operatorname{ctg}\alpha=\sqrt3\), czyli \(\operatorname{ctg}\alpha=1\).
W przedziale \(\left(0^{\circ},60^{\circ}\right)\) jedynym takim kątem jest \(\alpha=45^{\circ}\).
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle DAC\rvert=45^{\circ}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie \(\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert DC\rvert}=\frac{\sqrt3-1}{2}\) albo równoważnej zależności między polami.
**2 pkt** – zapisanie równania trygonometrycznego \(\frac{\sin\left(60^{\circ}-\alpha\right)}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3-1}{2}\).
**3 pkt** – rozwiązanie równania i podanie \(\alpha=45^{\circ}\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.R8) Zdający oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
