Nierówności
Zadanie 6, maj 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(2x>y\), spełniona jest nierówność**
\[7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(2x>y\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\]
\[=8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3=(2x-y)(2x+y)^2.\]
Z założenia \(2x-y>0\), a dla wszystkich liczb rzeczywistych \((2x+y)^2\geq0\). Zatem
\[(2x-y)(2x+y)^2\geq0,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne rozumowanie: rozkład na czynniki i uzasadnienie znaków obu czynników
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((2x-y)(2x+y)^2\geq0\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważny istotny krok prowadzący do rozkładu
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla sześcianu sumy i różnicy oraz sumy i różnicy sześcianów.
