Ciągi
Zadanie 5, maj 2022, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) wzorem
\[a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p},\]
gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. **Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \((a_n)\) jest równa \(\frac43\).**
W odpowiedzi podaj kolejno pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[p=\frac7{17}=0{,}411764\ldots\]
Pierwsze trzy cyfry po przecinku to **\(4\), \(1\), \(1\)**.
Rozwiązanie krok po kroku
Granica ilorazu wielomianów tego samego stopnia jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach:
\[\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{7p-1}{p+1}.\]
Z warunku zadania
\[\frac{7p-1}{p+1}=\frac43.\]
Ponieważ \(p>0\), mianownik jest niezerowy. Po pomnożeniu stronami otrzymujemy
\[21p-3=4p+4,\qquad17p=7,\qquad p=\frac7{17}.\]
Rozwinięcie dziesiętne ma postać
\[\frac7{17}=0{,}411764\ldots,\]
więc szukane cyfry to \(4\), \(1\), \(1\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: **4, 1, 1**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
W zasadach oceniania CKE dla tego zadania kodowanego nie wyszczególniono osobnego wymagania programowego. Zadanie sprawdza obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów oraz rozwiązywanie równania z parametrem.
