Zadanie 31 – matura z matematyki maj 2022, poziom podstawowy

Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a,b\in\mathbb{R}\) takich, że \(b\neq a\).

Mnożymy obie strony nierówności przez \(4>0\), co nie zmienia jej kierunku: \[2\left(a^{2}+b^{2}\right)>(a+b)^{2}.\] Rozwijamy prawą stronę i przenosimy wszystko na lewą: \[2a^{2}+2b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.\] Z założenia \(b\neq a\), więc \(a-b\neq0\), a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni: \[(a-b)^{2}>0.\] Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa. **Odpowiedź.** \(\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\) dla każdych \(a\neq b\), co należało wykazać.

**1 pkt** – gdy: • przekształci nierówność \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\;[\ldots]\) do postaci równoważnej \((a-b)^{2}>0\) lub \(a^{2}+b^{2}>2ab\) (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci wyciągnie wniosek ALBO • wykorzysta założenie \(a\ne b\) (lub równoważnie \((a-b)^{2}>0\)) i zapisze \(a^{2}+b^{2}>2ab\) (dla sposobu 2.), ALBO • wykorzysta założenie \(a\ne b\) oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi: kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.). **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn. • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie ALBO • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz doprowadzi nierówność do postaci tezy, ALBO • w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\;[\ldots]\) dla każdych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) takich, że \(a\ne b\). **Uwaga:** Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymaganie szczegółowe:** 2.1 ) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ±